photosdematures.com

Fórmula per calcular la distribució binomial

La fórmula de distribució binomial s’utilitza per calcular la probabilitat d’obtenir x èxits en els n assajos de l’experiment binomial que són independents i la probabilitat es deriva per combinació entre el nombre d’assaigs i el nombre d’èxits representats per nCx es multiplica per la probabilitat de l’èxit augmentat a la potència del nombre d’èxits representats per px, que es multiplica a més per la probabilitat de fallada elevada a la potència de la diferència entre el nombre d’èxits i el nombre de proves representades per (1-p) nx.

La probabilitat d’obtenir x èxits en n assajos independents d’un experiment binomial ve donada per la següent fórmula de distribució binomial:

P (X) = _nC_x px (1-p) n-x

on p és la probabilitat d’èxit

A l'equació anterior, _nC_x s’utilitza, que no és res més que una fórmula de combinacions. La fórmula per calcular combinacions es dóna com a _nC_x = n / x! (n-x) on n representa el nombre d’ítems (proves independents) i x representa el nombre d’elements que s’escullen alhora (èxits).

En el cas n = 1 en una distribució binomial, la distribució es coneix com a distribució de Bernoulli. La mitjana d’una distribució binomial és np. La variància de la distribució binomial és np (1-p).

Càlcul de la distribució binomial (pas a pas)

El càlcul de la distribució binomial es pot obtenir mitjançant els quatre passos simples següents:

• Pas 1: Calculeu la combinació entre el nombre de proves i el nombre d’èxits. La fórmula de _nC_x és on n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. Per a un nombre n, el factorial de n es pot escriure com, n! = n * (n-1)! Per exemple, 5! és 5 * 4 * 3 * 2 * 1
• Pas 2: Calculeu la probabilitat d'èxit elevada a la potència del nombre d'èxits que són px.
• Pas 3: Calculeu la probabilitat de fracàs elevada a la potència de la diferència entre el nombre d’èxits i el nombre d’assaigs. La probabilitat d’error és 1-p. Per tant, es refereix a l'obtenció (1-p) n-x
• Pas 4: Esbrineu el producte dels resultats obtinguts als passos 1, 2 i 3.

Exemples

Podeu descarregar aquesta plantilla Excel de fórmula de distribució binomial aquí - Plantilla Excel de fórmula de distribució binomial

Exemple 1

El nombre d’assaigs (n) és 10. La probabilitat d’èxit (p) és de 0,5. Feu el càlcul de la distribució binomial per calcular la probabilitat d’obtenir exactament 6 èxits.

Solució:

Utilitzeu les dades següents per al càlcul de la distribució binomial.

El càlcul de la distribució binomial es pot fer de la següent manera,

P (x = 6) = ₁₀C₆*(0.5)6(1-0.5)10-6

                = (10!/6!(10-6)!)*0.015625*(0.5)4

               = 210*0.015625*0.0625

Probabilitat d’obtenir exactament 6 èxits serà-

P (x = 6) = 0,205

La probabilitat d’obtenir exactament 6 èxits és de 0,2051

Exemple 2

Un gerent d’una companyia d’assegurances repassa les dades de les pòlisses d’assegurança venudes pels venedors d’assegurances que treballen sota ell. Troba que el 80% de les persones que compren una assegurança de motor són homes. Vol esbrinar que si se seleccionen a l'atzar vuit propietaris d'assegurances d'automòbils, quina seria la probabilitat que exactament 5 d'ells siguin homes.

Solució: primer hem d’esbrinar què són n, p i x.

El càlcul de la distribució binomial es pot fer de la següent manera,

P (x = 5) = ₈C₅*(0.8)5(1-0.8)8-5

               = (8! /5! (8-5)! )*0.32768*(0.2)3

              = 56*0.32768*0.008

Probabilitat d'exactament 5 èxits serà-

P (x = 5) = 0.14680064

La probabilitat que 5 propietaris d’assegurances de vehicles siguin homes exactament és de 0,14680064.

Exemple 3

La direcció de l’hospital està entusiasmada amb la introducció d’un nou medicament per al tractament de pacients amb càncer, ja que la possibilitat que una persona sigui tractada amb èxit és molt elevada. La probabilitat que un pacient sigui tractat amb èxit per la droga és de 0,8. El medicament s’administra a 10 pacients. Esbrineu la probabilitat que 9 o més pacients siguin tractats amb èxit.

Solució: primer hem d’esbrinar què és n, p i x.

Hem de trobar la probabilitat que 9 o més pacients siguin tractats amb èxit. Per tant, 9 o 10 pacients són tractats amb èxit

x (nombre per al qual heu de trobar la probabilitat) = 9 o x = 10

Hem de trobar P (9) i P (10)

El càlcul de la distribució binomial per trobar P (x = 9) es pot fer de la següent manera,

P (x = 9) = ₁₀C₉*(0.8)9(1-0.8)10-9

               = (10! /9! (10-9)!)*0.134217728*(0.2)

               = 10*0.134217728*0.2

Probabilitat de 9 pacients serà-

P (x = 9) = 0,2684

El càlcul de la distribució binomial per trobar P (x = 10) es pot fer de la següent manera,

P (x = 10) = ₁₀C₁₀*(0.8)10(1-0.8)10-10

                  = (10!/10! (10-10)!)*0.107374182*(0.2)0

                  = 1*0.107374182*

La probabilitat de 10 pacients serà-

P (x = 10) = 0,1074

Per tant, P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074

= 0.3758

Per tant, la probabilitat que 9 o més pacients siguin tractats pel medicament és de 0,375809638.

Calculadora de distribució binomial

Podeu utilitzar la següent calculadora de distribució binomial.

n
pàg
x
Fórmula de distribució binomial =

Fórmula de distribució binomial =	nCx * px * (1 -p) n-x
	0 C 0 * 0 0 * (1- 0 ) 0 - 0 =	0

Rellevància i ús

• Només hi ha dos resultats
• La probabilitat de cada resultat es manté constant d’un assaig a l’altre
• Hi ha un nombre fix de proves
• Cada prova és independent, és a dir, mútuament excloent d'altres
• Ens proporciona la distribució de freqüències del nombre possible de resultats amb èxit en un nombre determinat d’assaigs en què cadascun d’aquests assaigs té la mateixa probabilitat d’èxit.
• Cada assaig en un experiment binomial pot donar només dos possibles resultats. Per tant, el nom és "binomi". Un d’aquests resultats es coneix com a èxit i l’altre com a fracàs. Per exemple, les persones malaltes poden respondre a un tractament o no.
• De la mateixa manera, quan llancem una moneda, només podem tenir dos tipus de resultats: caps o cues. La distribució binomial és una distribució discreta utilitzada en estadístiques, que és diferent d’una distribució contínua.

Un exemple d’un experiment binomial és llançar una moneda, diguem-ne tres vegades. Quan llancem una moneda, només són possibles 2 resultats: caps i cues. La probabilitat de cada resultat és de 0,5. Com que la moneda es llença tres vegades, es fixa el nombre de proves que és 3. La probabilitat de cada llançament no està influenciada per altres llançaments.

La distribució binomial troba les seves aplicacions en les estadístiques de ciències socials. S’utilitza per desenvolupar models de variables dicotòmiques de resultat on hi ha dos resultats. Un exemple d’això és si els republicans o els demòcrates guanyarien les eleccions.

Fórmula de distribució binomial a Excel (amb plantilla Excel)

Saurabh va conèixer l’equació de distribució binomial a l’escola. Vol discutir el concepte amb la seva germana i apostar amb ella. Va pensar que llançaria una moneda imparcial 10 vegades. Vol apostar 100 dòlars per aconseguir exactament 5 cues en 10 llançaments. Als efectes d’aquesta aposta, vol calcular la probabilitat d’obtenir exactament 5 cues en 10 llançaments.

Solució: primer hem d’esbrinar què és n, p i x.

Hi ha una fórmula incorporada per a la distribució binomial: Excel, que és

És BINOM.DIST (nombre d’èxits, proves, probabilitat d’èxit, FALS).

Per a aquest exemple de distribució binomial hi hauria:

= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALS) on la cel·la B2 representa el nombre d’èxits, la cel·la B3 representa el nombre d’assaigs i la cel·la B4 representa la probabilitat d’èxit.

Per tant, el càlcul de la distribució binomial serà

P (x = 5) = 0,24609375

La probabilitat d’obtenir exactament 5 cues en 10 llançaments és de 0,24609375

Nota: FALS a la fórmula anterior denota la funció de massa de probabilitat. Calcula la probabilitat que hi hagi exactament n èxits a partir de n assajos independents. TRUE denota la funció de distribució acumulativa. Calcula la probabilitat que hi hagi com a màxim x èxits a partir de n assajos independents.