photosdematures.com

Què és la distribució exponencial?

La distribució exponencial es refereix a la distribució de probabilitat contínua i constant que s’utilitza realment per modelar el període de temps que una persona ha d’esperar abans que passi l’esdeveniment donat i aquesta distribució és una contrapart contínua d’una distribució geomètrica diferent.

Fórmula de distribució exponencial

Una variable aleatòria contínua x (amb el paràmetre d’escala λ> 0) es diu que té una distribució exponencial només si la seva funció de densitat de probabilitat es pot expressar multiplicant el paràmetre d’escala per la funció exponencial del paràmetre d’escala menys i x per a tot x superior o igual a zero, en cas contrari, la funció de densitat de probabilitat és igual a zero.

Matemàticament, la funció de densitat de probabilitat es representa com,

tal que la mitjana és igual a 1 / λ i la variància és igual a 1 / λ2.

Càlcul de la distribució exponencial (pas a pas)

• Pas 1: En primer lloc, intenteu esbrinar si l’esdeveniment considerat és continu i independent per naturalesa i es produeix a un ritme aproximadament constant. Qualsevol esdeveniment pràctic assegurarà que la variable sigui superior o igual a zero.
• Pas 2: A continuació, determineu el valor del paràmetre d’escala, que és invariablement el recíproc de la mitjana.

• • λ = 1 / mitjana

• Pas 3: A continuació, multipliqueu el paràmetre d'escala λ i la variable x i després calculeu la funció exponencial del producte multiplicada per menys una, és a dir, e– λ * x.
• Pas 4: Finalment, la funció de densitat de probabilitat es calcula multiplicant la funció exponencial i el paràmetre d’escala.

Si la fórmula anterior es compleix per a tots x més gran o igual a zero, doncs x és una distribució exponencial.

Exemple

Podeu descarregar aquesta plantilla Excel de distribució exponencial aquí - Plantilla Excel de distribució exponencial

Prenguem l'exemple, x, que és la quantitat de temps que un peó d'oficina ha trigat (en minuts) a lliurar des del taulell del gerent fins al taulell del secretari. La funció del temps que es pren té una distribució exponencial amb un temps mitjà igual a cinc minuts.

Donat que x és una variable aleatòria contínua ja que es mesura el temps.

Mitjana, μ = 5 minuts

Per tant, paràmetre d’escala, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20

Per tant, la funció de probabilitat de distribució exponencial es pot derivar com,

f (x) = 0,20 e– 0,20 * x

Ara, calculeu la funció de probabilitat a diferents valors de x per obtenir la corba de distribució.

Per a x = 0

la funció de probabilitat de distribució exponencial per a x = 0 serà,

De la mateixa manera, calculeu la funció de probabilitat de distribució exponencial de x = 1 a x = 30

• Per a x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
• Per a x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
• Per a x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
• Per a x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
• Per a x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
• Per a x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
• Per a x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
• Per a x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
• Per a x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
• Per a x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
• Per a x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
• Per a x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
• Per a x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
• Per a x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
• Per a x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
• Per a x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
• Per a x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
• Per a x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
• Per a x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
• Per a x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
• Per a x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
• Per a x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
• Per a x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
• Per a x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
• Per a x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
• Per a x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
• Per a x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
• Per a x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
• Per a x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
• Per a x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
• Per a x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000

Hem derivat la corba de distribució de la següent manera,

Rellevància i ús

Tot i que la suposició d’una taxa constant es compleix molt poques vegades en els escenaris del món real, si l’interval de temps se selecciona de manera que la taxa sigui aproximadament constant, la distribució exponencial es pot utilitzar com a bon model aproximat. Té moltes altres aplicacions en el camp de la física, la hidrologia, etc.

En estadístiques i teoria de la probabilitat, l'expressió de distribució exponencial es refereix a la distribució de probabilitat que s'utilitza per definir el temps entre dos esdeveniments successius que es produeixen de forma independent i contínua a una taxa mitjana constant. És una de les distribucions contínues molt utilitzades i està estrictament relacionada amb la distribució de Poisson en excel.